Learn-Algorithms/6 Sort/README.md

# 排序算法

**排序的稳定性** 是指对于相等的元素，排序之后，任然保存2个元素的位置没有变，就是稳定的排序，反之就是不稳定排序。


* 交换排序算法
* 桶排序

### 交换排序算法

* 冒泡排序 ：没轮确定一个最大的数排后面
* 选择排序 ：每轮选择最小的数排前面   
* 快排 : 选最后一个作为pivot（基数）, 将数据分为 左边小于 pivot， 右边大于 pivot； 分治递归， 二叉树的前序遍历思路
* 归并排序 ： 将无序的数组，分成2个子数组分别排序，然后再merge ； 分治递归， 二叉树的后续遍历思路
* 插入排序 ：
* 希尔排序 ：
* [堆排序](../4%20Tree/8-堆/堆.md) ： 


### 线性排序算法
    
* 桶排序 


### 小结

常见的排序算法都是比较排序，比较排序的时间复杂度通常为 O(n^2) 或 O(nlogn)  
但是如果带排序的数字有一些特俗性时，我们可以根据这来设计更加优化的排序算法。



# 交换排序算法

排序算法的复杂度由 `比较的次数` 和 `交换的次数` 一起决定。


### 直接选择排序

1. 从未排序的序列中选择最小的元素，与放在第一个位置的元素交换
2. 依次类推，直到全部排序

在a【i,n】中最小的元素和 a[i]交换位置。空间复杂度O(1)，时间复杂度 O(n^2)


![](./selectsort.gif)


### 冒泡排序

1. 相邻的2各元素比较，大的向后移，经过一轮比较，做大的元素排在最后
2. 第二轮，第二大的元素排倒数第二个位置
3. 直到全部排好

这样，即使是排好序的拿冒泡排序排序，比较的时间复杂度O(n^2)

![](./bubblesort.gif)


### 快速排序


时间复杂度 平均复杂度 O(n * logn) ， 最坏 O(n^2)  
空间复杂度  
快速排序是对冒泡排序的改进，划分交换排序。  


递归一次，pivot 左边都比它小，右边都比它大。这是递归，分治的思想。

> 快速排序就是个二叉树的前序遍历思路，归并排序就是个二叉树的后序遍历思路


代码框架如下

```C
void quicksort(int *a, int left, int right){
        if (left<right){//加上这个，不然有死循环，造成堆栈溢出，这也是递归结束条件
        
            int i = partion(a,left,right);//使得局部有序，i作为分隔
            quicksort(a,left,i-1); 
            quicksort(a,i+1,right);
        }
}
```


对 A[p...r] :  

0. 选择最后一个元素作为 pivot (基准)
1. 分解：A[p..q-1]  A[q+1..r],使得 A[p...q-1]< A[q] <A[q+1..r]  
2. 解决：递归调用 快排，对子数组A[p..q-1],A[q+1..r]排序  
3. 合并（子问题相互独立的，因此用分治算法就可以了）  
  
具体步骤：

1. 从数列中选择一个元素，作为基准 pivot。通常取分区的最后一个
2. 重排数列，比 pivot 小得排左边，比pivot大的排右边，相等的随便。 一句话就是`挖坑填数`
3. 递归的，使用相同的方式，重排左右两边的子序列

扫描过程分2种： 
 
1. 挖坑排序，2头向中间扫描，先从后向前找，再从前向后找。  
2. 单向扫描  

```
    void quicksort(int *a, int left, int right){
        if (left<right)//加上这个，不然有死循环，造成堆栈溢出，这也是递归结束条件
        {
            int i = partion(a,left,right);//使得局部有序，i作为分隔
            quicksort(a,left,i-1); 
            quicksort(a,i+1,right);
        }
    }

    // 挖坑填数，2边向中间扫描
    int partion(int *a, int start,int end){
        int i=start,j=end;
        int tmp = a[i]; // 这里要做越界检查
        while(i<j){

            // 从后向前扫描，找到第一个小于tmp的值，来填a[i]
            while(i<j && a[j]>=tmp){
                 j--;
            }   
             if (i<j)//找到了,这时候a[j]为坑 
            {   
                a[i++] = a[j];  
            }

            // 从左向右扫描，找一个大于 tmp的 数， 去填坑a[j]
            while(i<j && a[i]<tmp){
                i++;
            }
            if (i<j)
            {
                a[j++]=a[i];
            }
        }
        
        //扫描完成后，i==j
        a[i]=tmp;
        return i;
    }

```

```Java
// pivot 选择 尾部节点， 代码写起来更加简单； 移动元素更方便
// 左右指针技巧
static int partition(int[] nums, int left, int right){

        int pivot = nums[right];//选尾部节点作为 pivot
        int end = right;

        right--;
        while (left < right) {

            if (nums[left] <= pivot) {
                left ++ ; //左边指针 窗口变小
                continue;
            }

            //元素比 pivot 大，右边指针 窗口变小
            //swap left & right
            swap(nums, left, right);
            right--;

        }

        // 跟 pivot 元素置换
        int i = 0;
        if (nums[left] <= pivot) {
            //swap left+1 & pivot
           i = left +1;
        } else {//swap left & pivot
           i =  left ;
        }

        swap(nums, i, end);

        return i;
    }
```



![](./qsort.gif)


### 归并排序merge

分治算法(divide-and-conquer)，必然用到递归 ;  

2个有序数组的合并操作是O(n)的复杂度
因此我们可以将无序的数组，分成2个子数组分别排序，然后再merge,依次类推

归并排序的步骤: 

1. 分解。将一个数组分成n/2个子数组,每个序列2个元素，(2路归并)   
2. 解决。 将各个子数组都排好序，然后 merge 2个有序数组   
3. 合并   


归并排序的代码框架，套用二叉树的后续遍历思路，如下：

```
void sort(int[] nums, int low, int high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    sort(nums, low, mid);
    sort(nums, mid + 1, high);

    /****** 后序遍历位置 ******/
    // 合并两个排好序的子数组
    merge(nums, low, mid, high);
    /************************/
}


//合并连个有序数组； 从后往前merge
public void merge(int[] arr,int low,int mid,int high,int[] tmp){
        int i = 0;
        int j = low,k = mid+1;  //左边序列和右边序列起始索引

        while(j <= mid && k <= high){
            if(arr[j] < arr[k]){
                tmp[i++] = arr[j++];
            }else{
                tmp[i++] = arr[k++];
            }
        }

        //若左边序列还有剩余，则将其全部拷贝进tmp[]中
        while(j <= mid){    
            tmp[i++] = arr[j++];
        }
        
        while(k <= high){
            tmp[i++] = arr[k++];
        }
        
        for(int t=0;t<i;t++){
            arr[low+t] = tmp[t];
        }
    }


```

![](./mergesort.gif)


### 插入排序

1. 第一个元素算作已经排好
2. 取下一个元素，从已经排好的序列元素中，从后向前扫描
3. 如果排好序的元素大于 新元素，排好序的元素移到下一个位置
4. 重复3，直到直到最后的插入位置
5. 重复2

类似插入扑克牌的效果

最坏的情况： 待排序的是一个逆序排放的数组，这样导致每一轮都要移动元素；此时复杂度是是0(n^2) 
最好的情况： 待排序的是一已经顺序排放的数字，此时只需要做一轮比较就够了 0（n）。因此可以看到，**对大部分数据已经有序这样的数组排序，使用`插入排序`非常有优势**

空间复杂度O（1）




### 希尔排序

递减增量排序算法，对`插入排序`的改进，实质是分组插入排序，又叫`缩小增量排序`

1. 先将待排数列分割成若干子序列（增量为m)
2. 对每个子序列使用`插入排序`
3. 减小增量，再排序
4. 对全体元素做一次`插入排序`

`希尔排序`提升排序的奥秘就在于`数据元素越有序，使用插入排序效率越高`

![](./shellsort.gif)




### 堆排序

利用堆这种数据结构设计的一种排序算法

[堆结构参考这里](../4%20Tree/8-堆/堆.md)

我们来看看如何使用`堆` 来做排序?    

1. 将待排序数列看做一颗完全二叉树的存储结构   
2. `堆化数组`，结束后，根a[0]变成了最小的值（小根堆）  
3. 取a[0]值，然后对`堆`做删除操作，此时，`堆`会重新 `堆化数组`，a[0]又是下一个最小的值。删除操作通常是先把数组最后的元素提到a[0]位置，然后从根节点开始进行一次从上向下的调整；调整时，先从左右孩子中找最小的交换。如果父节点比每个节点都小就不用调整。因此，在`堆排序`是可以直接让 a[0]和数组最后一个元素互换，但要先保存好a[0],或者a[n-1],这样导致了使用`堆排序`时，递增排序使用大根堆，递减排序使用小根堆。
4. 循环3，就可以按从小到大的顺序取出所有数组元素。  


堆排序主要时间花在建堆期间和`堆化数组`，找数列中最大数只需要O(1)时间复杂度  


    void heap_sort(int *a, int length){
        // 建立堆 大根堆，递增排序
        heap_build(a,length);
        for (int i = length-1; i >0; --i)
        {
         //交换
         heap_swop(&a[0],&a[i]);
            //调整
         heap_adjust(a,i);
        }
    }


推排序还可以用来求 top-K 大(小)的问题。



#排序动画演示


接下来，我们看一组排序的动画，你看看能不能猜到他们使用了什么排序算法完成。

![](./qsort.gif)
![](./mergesort.gif)
![](./heapsort.gif)    
![](./selectsort.gif)
![](./bubblesort.gif)
![](./shellsort.gif)

答案是：

快排   |归并排序|堆排序   
选择排序|冒泡排序|希尔排序 


国外也有人通过舞蹈的方式编排了几种基本的排序算法，非常有趣。[点这里去看看](http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk4NTQ4.html?from=s1.8-1-1.2)


# 线性排序算法

上面的算法都是基于比较的排序，时间复杂度最好也是 NlogN. 而非基于比较的排序，可以突破NlogN的时间下限。当然，非比较的排序，也是需要有一些限定条件的。


### 桶排序  bucket sort

比如给全校学生做个分数排序，最大分100分。我们使用一个100个空间的辅助数据，以key为分数，value为命中的次数。通过O(n)复杂度就可以完成排序任务。这种排序方式就是桶排序。

也就是分配一个hash[100]的空间，初始化为0,遍历一遍，出现的数字就hash[k]++,这样再次遍历一次，就可以得到n个数的顺序了。