Learn-Algorithms/8 Algorithms Analysis/递归.md

# 递归

递归是一种设计和描述算法的有力工具。 也是回溯法和动态规划的基础。

递归算法执行过程分 `递推` 和 `回归`  两个阶段

在 `递推` 阶段，将大的问题分解成小的问题
在  `回归` 阶段，获得最简单问题的解后，逐级返回，依次得到稍微复杂情况的解，知道获得最终的结果

1） 确定递归公式 ,  比如  斐波那契数列 问题中的 `fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)`
2） 确定边界条件 bad case  

> 自顶向下的递归，自底向上是迭代


递归运行效率较低，因为有函数调用的开销，递归多次也可能造成栈溢出。


### 递归公式

[快排](../6%20Sort/README.md)

```Java
    void quicksort(int *a, int left, int right){
        if (left<right)//加上这个，不然有死循环，造成堆栈溢出，这也是递归结束条件
        {
            int i = partion(a,left,right);//使得局部有序，i作为分隔
            quicksort(a,left,i-1); 
            quicksort(a,i+1,right);
        }
    }

```

归并排

```Java
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
    int mid = (lo + hi) / 2;
    sort(nums, lo, mid);
    sort(nums, mid + 1, hi);

    /****** 后序遍历位置 ******/
    // 合并两个排好序的子数组
    merge(nums, lo, mid, hi);
    /************************/
}

```


二叉树

```Java
/* 二叉树遍历框架 */
void traverse(TreeNode root) {
    // 前序遍历
    traverse(root.left)
    // 中序遍历
    traverse(root.right)
    // 后序遍历
}

```



### 递归树

画递归树，可以很方便地看到是否存在重叠子问题，如果有的话，就可以采用动态规划。



### 其它案例

* 斐波那契数列 
* 阶乘计算  
* 快速排序  
* 链表翻转  
* 很多树算法都是递归思想实现， 如 二叉树的最近公共祖先
* 梵塔问题 （三根针1，2，3表示，1号从小到大n个盘子，先要都移到3号上，不能出现大盘压小盘，找出移动次数最少的方案）   


## 斐波那契数列 

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)  

#### 递归实现

```
int fib(int N) {
    if (N == 1 || N == 2) return 1;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
```

这个递归的算法效率非常差，存在大量重复计算。


#### 非递归实现

我们可以有一个【缓存】，每次遇到一个子问题先去「缓存」里查一查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。

```
public int fib(int n){
        if (n == 0) return 0;

        //缓存
        int[] dp = new int[n + 1];

        // base case
        dp[0] = 0; dp[1] = 1;

        // 状态转移
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        return dp[n];
    }
```

说一个细节优化点，当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。所以，可以进一步优化，把空间复杂度降为 O(1)：

```
int fib(int n) {
    if (n < 1) return 0;
    if (n == 2 || n == 1) 
        return 1;
    int prev = 1, curr = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int sum = prev + curr;
        prev = curr;
        curr = sum;
    }
    return curr;
}
```


## 合并有序链表


递归解法
```
public static LinkedNode mergeSeqLink2(LinkedNode l1, LinkedNode l2){

        if(l1 == null){
            return l2;
        }
        if(l2 == null){
            return l1;
        }

        if(l1.value < l2.value){
            l1.next = mergeSeqLink2(l1.next,l2);
            return l1;
        }else{
            l2.next = mergeSeqLink2(l2.next,l1);
            return l2;
        }
    }
```

非递归解法

```
public static LinkedNode mergeSeqLink(LinkedNode l1, LinkedNode l2){
        if (l1 == null) return l2;
        if (l2 == null) return l1;

        LinkedNode result = new LinkedNode(0);
        LinkedNode tmp = result;

        while (l1 != null && l2 != null) {
            if (l1.value < l2.value) {
                tmp.next = l1;
                tmp = tmp.next; //tmp 指针前进
                l1 = l1.next ; //l1 前进
            } else {
                tmp.next = l2;
                l2 = l2.next;
                tmp = tmp.next;
            }
        }

        if (l1 != null) {
            tmp.next = l1;
        }

        if (l2 != null) {
            tmp.next = l2;
        }

        return result.next;
    }
```



## 链表翻转


链表翻转  [代码参考这里](https://github.com/nonstriater/deep-in-java/blob/master/src/main/java/com/nonstriater/deepinjava/algo/link/ReverseLink.java)


```Java
//翻转链表前n个节点
    static LinkedNode tmp;//需要一个外部的临时变量
    public static LinkedNode reverseN(LinkedNode head, int n){
        //LinkedNode tmp = null;
        if (n == 1) {
            tmp = head.next;
            return head;
        }

        LinkedNode tail = reverseN(head.next, n-1);

        head.next.next = head; //后n-1个节点 与 第 1 个节点 指向 翻转
        head.next = tmp;

        return tail;
    }

```



## 二叉树的最近公共祖先

二叉树的最近公共祖先  [代码参考这里](https://github.com/nonstriater/deep-in-java/blob/master/src/main/java/com/nonstriater/deepinjava/algo/tree/CommonParent.java)


```Java
TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // base case
        if (root == null) return null;
        if (root == p || root == q) return root;

        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        // 情况 1  ：p, q 在 root 为根的树中
        if (left != null && right != null) {
            return root;
        }
        // 情况 2 ：p, q 不在 在 root 为根的树中
        if (left == null && right == null) {
            return null;
        }
        // 情况 3 ： p, q 只有1个在root 为根的树中
        return left == null ? right : left;
    }
```