## 算法分析思路 * 迭代法 * 穷举搜索法 * 动态规划 * 贪心算法 * 回溯 * 分治算法 下面我们将会详细介绍每一种算法设计的思路，并为每种方法给出一个经典案例的详细解读，最后还给出对应设计思路的其它案例，以供参考。 ### 迭代法 是一种不断用旧值递推新值的过程，分精确迭代和近视迭代。是用来求方程和方程组近似根的方法。 迭代变量 迭代关系， 迭代关系选择不合理，会导致迭代失败 迭代过程控制，也就是迭代什么时候结束，不能无休止进行下去 ### 穷举搜索法 或者叫蛮力法。对可能的解的众多候选按照某种顺序逐一枚举和检验。典型的问题如选择排序和冒泡排序。 #### 背包问题 给定n个重量为 w1,w2,...,wn,定价为 v1,v2,...,vn 的物品，和一个沉重为W的背包，求这些物品中一个最有价值的子集，且能装入包中。 #### 其它案例 选择排序 冒泡排序 ### 递归 递归是一种设计和描述算法的有力工具。 递归算法执行过程分 `递推` 和 `回归` 两个阶段 在 `递推` 阶段，将大的问题分解成小的问题 在 `回归` 阶段，获得最简单问题的解后，逐级返回，依次得到稍微复杂情况的解，知道获得最终的结果 1） 确定递归公式 2） 确定边界条件 #### 斐波那契数列 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) 递归实现 ``` ``` 非递归实现 ``` ``` #### 其它案例 阶乘计算 梵塔问题 （三根针1，2，3表示，1号从小到大n个盘子，先要都移到3号上，不能出现大盘压小盘，找出移动次数最少的方案） 快速排序 递归运行效率较低，因为有函数调用的开销，递归多次也可能造成栈溢出。 ### 贪心算法 不追求最优解，只找到满意解。 #### 赫夫曼编码 #### 其它案例 找回零钱问题 装箱问题 ### 分治算法 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，各个击破，分而治之。 分治算法常用`递归`实现 1） 问题缩小的小规模可以很容易解决 2) 问题可以分解为规模较小相同问题 3） 子问题的解可以合并为该问题的解 4） 各个子问题相互独立，(如果这条不满足,转为`动态规划`求解） 分治法的步骤： 1. 分解 2. 解决 3. 合并 #### 大整数乘法 如 26542123532213598*345987342245553677884 #### 其它案例 快速排序 归并排序 最大子数组和 ### 动态规划DP 复杂问题不能分解成几个子问题，而分解成一系列子问题； DP通常基于一个递推公式及一个(或多个)初始状态，当前子问题解由上一次子问题解推出。 状态 状态转移方程 递推关系 动态规划算法的关键在于解决冗余，以空间换时间的技术，需要存储过程中的各种状态。可以看着是`分治算法`+`解决冗余` 使用动态规划算法的问题的特征是`子问题的重叠性`，否则动态规划算法不具备优势 ####基本步骤 1. 划分问题 2. 选择状态 3. 确定决策并写出状态转移方程 4. 写出规划方程 #### 最长递增子序列 最长递增子序列（LIS Longest Increasing Subsequence） #### 其它案例 最短路径 ### 回溯法 也叫 `试探法`。 是一种选优搜索法，按照选优条件搜索，当搜索到某一步，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回重新选择。 一般步骤 1. 针对问题，定义解空间（ 这时候解空间是一个集合，且包含我们要找的最优解） 2. 组织解空间，确定易于搜索的解空间结构，通常组织成`树结构` 或 `图结构` 3. 深度优先搜索解空间，搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索 回溯法求解问题时，一般是一边建树，一边遍历该树；且采用非递归方法。 #### 八皇后问题 8x8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后。任意2个皇后都不能处于同一个 横线，纵线，斜线上。 分析 1. 任意2个皇后不能同一行，也就是每个皇后占据一行，通用的，每个皇后也要占据一列 2. 一个斜线上也只有一个皇后 #### 其它案例 迷宫问题 ### 总结 贪心法、分治法、动态规划都是将问题归纳为根小的、相似的子问题，通过求解子问题产生全局最优解。 `贪心法` `分治法` `动态规划` ## 参考 《算法设计与分析基础》 Anany Levitin http://www.chinaunix.net/old_jh/23/437639.html